Физический энциклопедический словарь - упругости теория
Упругости теория
Законы упругости, имеющие место для большинства материалов, по крайней мере при малых (а иногда и больших) деформациях, отражают взаимно однозначные зависимости между текущими (мгновенными) значениями напряжений и деформаций. Осн. физ. закон У. т.— обобщённый Гука закон, согласно к-рому напряжения линейно зависят от деформаций. Для изотропных материалов эти зависимости имеют вид:
(гидростатическая) деформация, и — постоянные Ламе. Т. о., упругие свойства изотропного материала характеризуются двумя постоянными и или к.-н. выраженными через них двумя модулями упругости,
Равенство (1) можно также представить в виде:
где =1/3(11+22+33) — среднее
(гидростатич.) напряжение, К — модуль объёмной упругости.
Для нелинейного упругого изотропного материала в равенствах (2) всюду вместо входит коэфф. Ф(u)/3u, а соотношение =3K заменяется равенством =f(), где величина u наз. интенсивностью деформации, а функции Ф и f, универсальные для данного материала, определяются из опытов. Когда Ф(u) достигает нек-рого критич. значения, возникают пластич. деформации.
Матем. задача У. т. при равновесии состоит в том, чтобы, зная действующие внеш. силы (нагрузки) и т. н. граничные условия, определить в любой точке тела значения компонентов тензоров напряжений и деформаций, а также компоненты uх, uу, uz вектора перемещения частицы тела, т. е. определить эти 15 величин в виде функций от координат х, у, z точек тела. Исходными для решения этой задачи являются дифференциальные ур-ния равновесия:
где — плотность материала, X, Y, Z — проекции на координатные оси действующей на каждую частицу тела массовой силы (напр., силы тяжести), отнесённой к массе этой частицы. К трём ур-ниям равновесия присоединяются 6 равенств (1) в случае изотропного тела и ещё 6 равенств вида:
устанавливающих зависимости между компонентами деформаций и перемещений.
Когда на часть S1 граничной поверхности тела действуют заданные поверхностные силы (напр., силы контактного взаимодействия), проекции
к-рых, отнесённые к единице площади, равны Fx, Fy, Fz, а для части S2 этой поверхности заданы перемещения ее точек х, у, z, граничные условия имеют вид:
11l1+l2l2 + 13l3=Fx, (5)
uх=х. uy=y, uz=z, (6)
где l1, l2, l3 — косинусы углов между нормалью к поверхности и координатными осями. Первые условия означают, что искомые напряжения должны удовлетворять на границе S1 трём равенствам (5), а вторые — что искомые перемещения должны удовлетворять на границе S2 равенствам (6); в частном случае может быть х=y=z=0 (часть поверхности S2 жёстко закреплена). Напр., в задаче о равновесии плотины массовая сила — сила тяжести, поверхность S2 подошвы плотины неподвижна, на остальной поверхности S1 действуют силы: напор воды, давление разл. надстроек, трансп. средств и т. д.
В общем случае поставленная задача представляет собой пространств. задачу У. т., решение к-рой трудно осуществимо. Точные аналитич. решения имеются лишь для нек-рых частных задач: об изгибе и кручении бруса, о контактном взаимодействии двух тел, о концентрации напряжений, о действии силы на вершину конич. тела и др. Т. к. ур-ния У. т. являются линейными, то решение задачи о совместном действии двух систем сил получается путём суммирования решений для каждой из систем сил, действующих раздельно (принцип суперпозиции). В частности, если для к.-н. тела найдено решение при действии сосредоточенной силы в к.-л. произвольной точке тела, то решение задачи при произвольном распределении нагрузок получается путём суммирования (интегрирования). Такие решения получены лишь для небольшого числа тел (неограниченное пространство, полупространство, ограниченное плоскостью, и нек-рые др.). Предложен ряд аналитич. методов решения пространственной задачи У. т.: вариационные методы (Ритца, Бубнова — Галёркина, Кастильяно и др.), метод упругих потенциалов, метод Бетти и др. Интенсивно разрабатываются численные методы (конечно-разностные, метод конечных элементов и др.). Разработка общих методов решений пространственной задачи У. т.— одна из наиболее актуальных проблем У. т.
При решении плоских задач У. т. (когда один из компонентов перемещения равен нулю, а два др. зависят только от двух координат) широкое применение находят -методы теории функций комплексного переменного. Для стержней, пластин и оболочек, часто используемых в технике, найдены приближённые решения мн.
788
практически важных задач на основе нек-рых упрощающих предположений. Применительно к этим объектам интерес представляют задачи об устойчивости равновесия (см. Устойчивость упругих систем).
В задаче термоупругости определяются напряжения и деформации, возникающие вследствие неоднородного распределения темп-ры в теле. При матем. постановке этой задачи в правую часть первых трёх ур-ний (1) добавляется член -(З+2)T, где — коэфф. линейного теплового расширения, Т (х1, х2, х3) — заданное поле темп-ры. Аналогичным образом строится теория электромагнитоупругости и упругости тел, подвергаемых облучению.
Большой практич. интерес представляют задачи У. т. для неоднородных тел. В этих задачах коэфф. и в ур-нии (1) являются не константами, а функциями координат, определяющими поле упругих свойств тела, к-рое иногда задают статистически (в виде нек-рых функций распределения). Применительно к этим задачам разрабатываются статистич. методы У. т., отражающие статистическую природу свойств поликристаллич. тел.
В динамич. задачах У. т. искомые величины являются функциями координат и времени. Исходными для матем. решения этих задач являются дифф. ур-ния движения, отличающиеся от ур-ний (3) тем, что правые части вместо нуля содержат инерц. члены д2ux/дt2 и т. д. К исходным ур-ниям должны также присоединяться ур-ния (1), (4) и, кроме граничных условий (5), (6), ещё задаваться начальные условия, определяющие, напр., распределение перемещений и скоростей ч-ц тела в начальный момент времени. К этому типу относятся задачи о колебаниях конструкций и сооружений, в к-рых могут определяться формы колебаний и их возможные смены, амплитуды колебаний и их нарастание или убывание во времени, резонансные режимы, динамич. напряжения, методы возбуждения и гашения колебаний и др., а также задачи о распространении упругих волн (сейсмич. волны и их воздействие на конструкции и сооружения, волны, возникающие при взрывах и ударах, термоупругие волны и т. д.).
Одной из совр. проблем У. т. является матем. постановка задач и разработка методов их решения при конечных (больших) упругих деформациях.
Экспериментальные методы У. т. (метод многоточечного тензометрирования, поляризационно-оптический метод исследования напряжений, метод муаров и др.) позволяют в нек-рых случаях непосредственно определить распределение напряжений и деформаций в исследуемом объекте или на его поверхности. Эти методы используются также для контроля решений, полученных аналитич. и численными
методами, особенно когда решения найдены при к.-н. упрощающих допущениях. Иногда эффективными оказываются экспериментально-теоретич. методы, в к-рых частичная информация об искомых функциях получается из опытов.
• Ляв А. (Л а в), Математическая теория упругости, пер. с англ., М.— Л., 1935; Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости, под ред. В. Д. Купрадзе, 2 изд., М., 1976;
С т р е т т Дж. В. (лорд Рэлей), Теория звука, пер. с англ., 2 изд., т. 1—2, М., 1955; Боли Б. Уэйнер Дж., Теория температурных напряжений, пер. с англ., М., 1964; Т и м о ш е н к о С. П., Гудьер Дж. Н., Теория упругости, пер. с англ., М., 1975.
А. А. Ильюшин, В. С. Ленский.
Вопрос-ответ:
Похожие слова
Самые популярные термины
1 | 1380 | |
2 | 1051 | |
3 | 994 | |
4 | 943 | |
5 | 925 | |
6 | 827 | |
7 | 801 | |
8 | 801 | |
9 | 712 | |
10 | 709 | |
11 | 689 | |
12 | 637 | |
13 | 626 | |
14 | 614 | |
15 | 533 | |
16 | 523 | |
17 | 517 | |
18 | 501 | |
19 | 483 | |
20 | 479 |